Kumpulan soal-soal Barisan dan Deret Aritmatika.

Kumpulan soal-soal Barisan dan Deret Aritmatika.

Nahh sebelum gw kasih contoh soal-soalnya , gw tunjukin dulu nih Rumus dasarnya sob  supaya lebih ngerti aja .

A.BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih antara dua barisan yang berurutan selalu tetap. Selisih ini disebut dengan beda.

Beda di rumuskan dengan :  B = U_n – U_n-1

Suku ke-n dari barisan Aritmatika dirumuskan :

      U_n = a + (n – 1)b                 Dimana : a = suku pertama

                                                                       B = beda

Jika n ganjil , maka suku tengahnya dirumuskan :  

  U_t  = ½(a + U_n) dimana t = ½(n + 1)

Jika diantara 2 suku disisipkan K buah suku maka barisan tersebut memiliki beda baru (b’) yang dirumuskan :

B = b/k+1

2.Deret Aritmatika

=> jumlah suku dan barisan aritmatika  S_n = U₁ + U₂+ U₃ ….U_n dengan rumus :                                                                         

S_n  = n/2(2a + (n -1)b    atau  S_n  = n/2(a + U_n)

Contoh soal Barisan Aritmatika.

.1.  Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?

     Jawab :

     Dik :

     deret : 1. 3, 5, 7, ...

     a = 1

     b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

     Un = a + (n-1) b

          = 1 + (25-1)2

          = 1 +   (24).2

          = 1 + 48

          = 49

     Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49

2. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka  cari nilai dari suku pertamanya ?

    Jawab :

    Dik :

    U15 = 32

    b = 2

    n = 15

    Ditanya : a ?

    Penyelesaian :

    Un = a + (n-1) b

    U15 = a + (15-1) 2

    32 = a + (14).2

    32 = a + 28

    a = 32 - 28

    a = 4

    Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.

    Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

                     b). Besarnya suku ke-10

 Jawab :
    Diketahui :

    U7 = 33

    U12 = 58

    Penyelesaian :

    a). U7  = a + (7-1)b

          33  = a + 6b 

         U12 = a + (12-1)b

          58   = a + 11b

         Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

         58 = a + 11b

         33 = a + 6b   (-)

         25 = 5b

         b = 25/5

         b = 5

         

         33 = a + 6b 

         33 = a + 6.(5)

         33 = a + 30

         a   =  33 - 30

         a   = 3

  

    b). Un = a + (n-1) b

         U10 = 3 + (10-1). 5

                 = 3 + (9).5

                 = 3 + 45

                 = 48   

4.       Dalam suatu barisan aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86 , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ?

Jawab :

U₃ + U₇ = 56

(a + 2b) + (a +6b) = 56

2a + 8b = 56                        (dibagi 2)

a + 4b = 8             ….(1)

U₆ + U₁₀ = 86

(a + 5b) + (a + 9b) = 86

2a + 14b = 86                      (dibagi 2)

a + 7b = 43           ….(2)

Eliminasi (1) dan (2)

a + 4b = 8

a + 7b = 43 –

-3b = -15

b = 5            ….(3)

a = 8

jadi suku k-2 deret tersebut : U₂ = a + b = 8 + 5 = 13.

5.       Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 16 5, maka U₁₉ ?

INGAT bahwa :  Un = a + (n – 1)b

U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165

a + 18b = 55

sehingga U₁₉  = a + (19 – 1)b

= a + 18b = 55 .

6.      Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a.       Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b.       Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a.       Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n   = a + (n – 1)b

U₁₀  = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

 U_n   = a + (n – 1)b

        = 3 + (n – 1)5

        = 3 + 5n – 5

        = 5n – 2

b.       Misalkan U_n  = 198, maka berlaku :

U_n  = 198

5n – 2 = 198

5n  = 200

 n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

 Contoh soal Deret Aritmatika.

1.       itunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika  3 +  5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

  S₂₀ = 10( 6 + 19.2)

       = 10 ( 6 + 38)

       = 10 ( 44 }

       = 440

2.       Suatu deret aritmatika mempunyai  beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?

Jawab :

B = 2

S_2o= 240

Ingat bahwa : S_n  = n/2(2a + (n -1)b

S₂₀ = 20/2(2.a + (20 – 1).2)

240=10(2a + 38)

240=20a +380     dibagi 10

24=2a +38

2a=24-38

2a=-14

A=-7

Sehingga :

S₇ = 7/2(2a + (7 – 1)b)

     =7/2(2(-7) + (7 – 1)2)

     =7/2(-14 + 12 )

     = -7

3.       Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U . diketahui  U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72.  Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ?

Jawab :

Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : U_n = a + (n – 1)b

Sehingga :

 U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72

(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72

4a + 26b = 72                      (dibagi dengan 2)

2a + 13b = 36

Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :

S_n  = n/2(2a + (n -1)b

S₁₄ = 14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.

4.       Diketahui     : U3 = 36, U5 + U7 = 144
Ditanya    : S10 ?
Jawab    :
Un = a + ( n – 1 )b
U3 = 36
U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36
U3 = a + 2b = 36     … (1)
U5 + U7 = 144    { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }
( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144
2a + 10b = 144    … (2)
Eliminasi kedua persamaan :
a + 2b = 36     … (1)    | x 2        2a + 4b = 72
2a + 10b = 144    … (2)    | x 1        2a + 10b = 144 –
                            –6b = –72
                            b = 12
Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :
a + 2b = 36     … (1)
a + 2(12) = 36
a = 36 – 24
a = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10
Sn = □(n/2) { 2a + ( n – 1 )b }
S10 =  □(10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }
S10 =  5 { 24 + (9)12 }
S10 =  5 { 24 + 108 }
S10 =  5 { 132 }
S10 =  660

5.       Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S₅). Pertama kita cari nilai a dan b.

U₃ = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U₄ = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
- b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S₅ = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Nahhh… itu dia beberapa contoh soal barisan dan deret Aritmatika , semoga dapat membatu sobat semua . menurut gw materi ini mudah koo sobbb,eitssss ASALLL……. kalian mau belajar dengan serius , karna ngerjain ni soal cma butuh rumus dasar itu aja , dan pintar-pintar kalian aja memutar balikan rumusnya :D . SEMANGAT  Buat kalian semua ya sobb. Cahyoooo !!!